统计题目

##均值方差&协方差

均匀分布，均值和方差，$D(\overline{X})=$ **

(a+b)/2，(b-a)^2/12，D(X)/n

协方差和相关系数

A. 协方差的正或负，反映两个变量X、Y是同向变化或反向变化

B. 协方差的绝对值，反映两个变量X、Y同向或反向变化的程度

C. 两个变量的相关系数是消除量纲和标准化之后的特殊的协方差

D. 相关系数反应两个变量每单位变化的相似程度 ABCD

max(X,Y),min(X,Y)的期望求解

max(X,Y)=1/2(X+Y+|X−Y|);

min(X,Y)=1/2(X+Y−|X−Y|);

http://sofasofa.io/forum_main_post.php?postid=1001602

##PDF等

以下关于PMF(概率质量函数),PDF(概率密度函数),CDF(累积分布函数)描述错误的是()

PDF描述的是连续型随机变量在特定取值区间的概率
CDF是PDF在特定区间上的积分
PMF描述的是离散型随机变量在特定取值点的概率
有一个分布的CDF函数H(x),则H(a)等于P(X<=a)

A，概率质量函数 (probability mass function，PMF)是离散随机变量在各特定取值上的概率。

概率密度函数（p robability density function，PDF ）是对 连续随机变量 定义的，本身不是概率，只有对连续随机变量的取值进行积分后才是概率。

累积分布函数（cumulative distribution function，CDF）能完整描述一个实数随机变量X的概率分布，是概率密度函数的积分。对於所有实数x ，与pdf相对。

分布

平面上平均每4个单位面积有一个染色点,观察一定面积上的点数X,X近似服从()

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。（来自百度百科）

这里某个单位面积有染色点可以看做是个随机事件，而在一定面积上观察这个一定面积可以看做是单位时间

一领导到达办公室的时间均匀分布在8至12时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7至9时,设他们到达的时间相互独立,求他们到达时间不超过5分钟的（1／12小时）的概率?

先随机选定秘书在某分钟到的概率为 P1 = 1/120 ,负责人到办公室的概率p2=1/240 在7点55与8点过5分直接到时,碰见的概率为积分 ∫ 1/120*1/240*（x+5）dx ,x在（-5,5）之间积分. 在8点过5分到9点直接到时,碰见的概率为积分 1/120 ∫ 1/240*10 dx ,x在（5,60）之间积分. 所以概率为 1/1201/240 (5+5)^2/2 + 1/24010 55/120 =1/12010/240 5 + 1/24010 55/120 =1/12010/240 + 1/24010 *60/120 =1/48 所以他们时间相差不超过 5分钟的概率为 1/48

设X和Y分别是领导和他的秘书到达办公室的时间,由假设X和Y的概率密度为＝1/4,8＜X＜12,0,其它＝1/2,7＜y＜12 ,0,其他因为X.Y相互独立,故（X,Y）的概率密度为 1/8 ,8＜x＜12.7＜y＜9 0,其它. 按题意需要求概率 P｛｜X－Y｜}≤1/12,画出区域：｜X－Y｜≤1/12,以及长方行〔8＜x＜12;7＜y＜9〕,它们的公共部分是个四边行,记为G,显然仅当（X,Y）取值为G内,他们两人到达的时间相差才不超过1/12小时.所求概率为 y-x=1/12 y-x=-1/12 P｛｜X－Y｜≤1/12}= =1/8×(G的面积). 而G的面积=三角形ABC的面积－三角形ABC的面积 =1/2（13/12）2－1/2（11/12）2＝1/6 1/6×1/8=1/48 即领导和他的秘书到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为1/48.

一个人4小时间某一分钟到的概率是1/240 秘书2小时间某一分钟到的概率是1/120 5分钟内两人到的概率是1/2880

相差不到5分钟，先到晚到都行，乘以10

两个人相交的时间段只有1小时再乘以60=1/48

##切比雪夫&中心极限

切比雪夫不等式，中心极限定理

$P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le \frac1{k^2}$

$P(|X-\mu|\ge \epsilon)\le \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$

中心极限定理：

##分层抽样

分层抽样适用在哪些情况**

选项：
研究的总体非常小 

在调研中希望了解不同子群体的差异 

总体中只有一部分样本是可以调研的 

没有先验的总体信息 

分层抽样法也叫类型抽样法。它是从一个可以分成不同子总体（或称为层）的总体中，按规定的比例从不同层中随机抽取样品（个体）的方法。这种方法的优点是，样本的代表性比较好，抽样误差比较小。缺点是抽样手续较简单随机抽样还要繁杂些。定量调查中的分层抽样是一种卓越的概率抽样方式，在调查中经常被使用。
总体中赖以进行分层的变量为分层变量，理想的分层变量是调查中要加以测量的变量或与其高度相关的变量。
只有当被查总体中大部分项目（的金额）分布均匀，少数项目属于高金额或低金额之类的异常项目时，运用分层抽样法才有意义。

实施分层抽样的可能原因：
1）总体规模与样本容量大，总体单元之间的差异较大
2）掌握先验信息，可以将总体按一定指标划分为子总体(strata)
链接:https://www.applysquare.com/topic-cn/THmJiXOOE/

##线性回归

残差的无偏估计是SSE/(n-p)？

**对n个样本点进行无结局的的线性回归拟合,使得残差平方和最小,回归方程为y=kx,则可推导出的回归系数k为 **

$\frac{\sum_{i=1^n} Y_i X_i}{\sum_{i=1}^n X_i^2}$

关于线性回归的描述,以下正确的有:

基本假设包括随机干扰项是均值为0,方差为1的标准正态分布
基本假设包括随机干扰项是均值为0的同方差正态分布
在违背基本假设时,普通最小二乘法估计量不再是最佳线性无偏估计量
在违背基本假设时,模型不再可以估计
可以用DW检验残差是否存在序列相关性
多重共线性会使得参数估计值方差减小

BCE，一元线性回归的基本假设有

1、随机误差项是一个期望值或平均值为0的随机变量；

2、对于解释变量的所有观测值，随机误差项有相同的方差；

3、随机误差项彼此不相关；

4、解释变量是确定性变量，不是随机变量，与随机误差项彼此之间相互独立；

5、解释变量之间不存在精确的（完全的）线性关系，即解释变量的样本观测值矩阵是满秩矩阵；

6、随机误差项服从正态分布

违背基本假设的计量经济学模型还是可以估计的，只是不能使用普通最小二乘法进行估计。当存在异方差时，普通最小二乘法估计存在以下问题：参数估计值虽然是无偏的，但不是最小方差线性无偏估计。

杜宾-瓦特森（DW）检验，计量经济，统计分析中常用的一种检验序列一阶

自相关 最常用的方法。

所谓多重共线性（Multicollinearity）是指线性回归模型中的解释变量之间由于存在精确

时间序列

下列时间序列模型中,哪一个模型可以较好地拟合波动性的分析和预测

AR模型
MA模型
ARMA模型
GARCH模型

AR模型：自回归模型，是一种线性模型，即已知N个数据，可由模型推出第N点前面或后面的数据（设推出P点），所以其本质类似于插值。

MA模型：移动平均法模型，其中使用趋势移动平均法建立直线趋势的预测模型

ARMA模型：自回归滑动平均模型，拟合较高阶模型

GARCH模型：广义回归模型，对误差的方差建模，适用于波动性的分析和预测

工具

SPSS中，整理数据的功能主要在数据和转换上

定义一个满足f(f(n))=-n的函数

f(n) = sign(n) - (-1)^n * n

def f(n): 
    if n == 0: return 0
    if n >= 0:
        if n % 2 == 1: 
            return n + 1
        else: 
            return -1 * (n - 1)
    else:
        if n % 2 == 1:
            return n - 1
        else:
            return -1 * (n + 1)

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PDF描述的是连续型随机变量在特定取值区间的概率 CDF是PDF在特定区间上的积分 PMF描述的是离散型随机变量在特定取值点的概率有一个分布的CDF函数H(x),则H(a)等于P(X<=a)

选项：研究的总体非常小在调研中希望了解不同子群体的差异总体中只有一部分样本是可以调研的没有先验的总体信息分层抽样法也叫类型抽样法。它是从一个可以分成不同子总体（或称为层）的总体中，按规定的比例从不同层中随机抽取样品（个体）的方法。这种方法的优点是，样本的代表性比较好，抽样误差比较小。缺点是抽样手续较简单随机抽样还要繁杂些。定量调查中的分层抽样是一种卓越的概率抽样方式，在调查中经常被使用。总体中赖以进行分层的变量为分层变量，理想的分层变量是调查中要加以测量的变量或与其高度相关的变量。只有当被查总体中大部分项目（的金额）分布均匀，少数项目属于高金额或低金额之类的异常项目时，运用分层抽样法才有意义。实施分层抽样的可能原因： 1）总体规模与样本容量大，总体单元之间的差异较大 2）掌握先验信息，可以将总体按一定指标划分为子总体(strata) 链接:https://www.applysquare.com/topic-cn/THmJiXOOE/

基本假设包括随机干扰项是均值为0,方差为1的标准正态分布基本假设包括随机干扰项是均值为0的同方差正态分布在违背基本假设时,普通最小二乘法估计量不再是最佳线性无偏估计量在违背基本假设时,模型不再可以估计可以用DW检验残差是否存在序列相关性多重共线性会使得参数估计值方差减小

1.根据实际情况提出原假设和备择假设； 2.根据假设的特征，选择合适的检验统计量； 3.根据样本观察值，计算检验统计量的观察值(obs)； 4.选择许容显著性水平，并根据相应的统计量的统计分布表查出相应的临界值(ctrit)； 5.根据检验统计量观察值的位置决定原假设取舍。

def f(n): if n == 0: return 0 if n >= 0: if n % 2 == 1: return n + 1 else: return -1 * (n - 1) else: if n % 2 == 1: return n - 1 else: return -1 * (n + 1)